日本数学大家伊藤清：数学的另一面
对数学来说，其科学的一面与艺术的一面是密不可分的。理论是受数学逻辑的整合性与美感的引导从纯数学的角度开发出来的，我们用这种眼光来看客观实在，反而能看清存在于自然中的数学本质，并由此取得全新的素材，使数学取得飞跃性发展。
回顾一下数学的历史，就会发现数学也存在艺术的一面，或者说纯粹数学的一面。那些只在研究时才会利用数学的科学家中就有一些人看不见数学的这个侧面，甚至认为数学是从属于科学的。从这个角度出发，他们肯定无法理解那些证明高斯的素数分布公式以及为了将其详细化而努力的数学家们的心情。他们恐怕也不明白“维纳的布朗运动几乎处处不可微”这一定理到底有什么用。但是，站在数学的立场上来说，纯粹数学是数学非常重要的一面。说实话，正是源于数学的这一面，数学家们才将数学看作人类重要的文化财产。
是否认可数学是文化财产这一问题，因为牵涉每个人的人生观，所以很难回答。我在美国时，曾在电视上看到过一个每年只织一块美丽布匹的八十多岁日本老妇人的故事。这位老妇人在寒冷的冬日踏入白雪皑皑的树林，将树皮剥下，再将其浸泡于融雪形成的河水之中。她用树皮制作线绳，织成炫目的美丽布匹。技艺无人继承令她十分烦恼。她的儿子和儿媳忙于自己的工作，对这项技艺并不上心，当然也没有人来做她的徒弟。万幸的是，她的孙女在读高中时被老妇人打动，决意学习这门技艺。每日清晨，女孩会在祖母的带领下祭拜镇守森林的神祗，之后便静心给祖母帮忙。老妇人手工织布的情景与日本现代化纺织工厂形成了鲜明的对比，在没有员工的房间中，布匹宛若飞流直下的瀑布一般从织布机中流淌而下。
看完这个故事，我深受震撼。当下恐怕已经没有人会穿着用这位老妇人织成的布匹制作的成衣了。我们穿着的衣服，是用像一川瀑布一样流淌而下的布匹制成的。如果说老妇人的布匹让我们感受到的是她饱含着毕生心血所追寻的理想，那么我们从现代工厂的布匹中感受到的就是日本作为工业国呈现出的强大的商魂。从这个电视节目中可以看到超越了实用性的价值。若无法认同这种价值，恐怕也无法理解数学中艺术的（纯粹数学的）那一面。
在这里，我并没有打算将数学中科学的一面比作工厂的布匹，将艺术的一面比作老妇人所织成的布匹。我想表达的恰恰与此相反。对布匹来说二者虽截然不同，但对数学来说，其科学的一面与艺术的一面是密不可分的。理论是受数学逻辑的整合性与美感的引导从纯数学的角度开发出来的，我们用这种眼光来看客观实在，反而能看清存在于自然中的数学本质，并由此取得全新的素材，使数学取得飞跃性发展。这正是历史所展现出来的。
数学专业的学生初次被数学的魅力所俘获，恐怕是在他们学习伽罗瓦代数方程论的时候。这个理论被建立的契机是“五次以上的方程没有公式解，四次以下有公式解”这一数百年来一直悬而未解的难题，而这个问题表示的意思只需大学程度的数学知识就能够理解。我们现在学习的并不是阿贝尔或伽罗瓦接触的那些难题，而是在那之后经过数百年整理打磨的成品，内容简洁明快。仅凭这一理论，数学就已经可以被称为值得人类夸耀的文化财产了。如果有人就这个理论有何用处提出疑问，我会回答他：“这一理论正是没有被应用染指的纯粹数学的财产。”（参考哈代所著的《纯粹数学》的序言。）
但是，这种对纯粹数学的礼赞基本无视了历史的现实。第一，伽罗瓦并不是为了建立这个理论才突然想到群这一概念的。群的概念应该是通过画法几何（射影几何学的前身）、运动学、力学，以变换群的形式在当时的数学家心中萌芽的。画法几何、运动学和力学通过对自然进行科学考察来建立，所以若是溯源的话就会回到数学中科学的那一面。若是着眼于伽罗瓦之后百余年打磨这一理论的过程，我们就会发现其中积累了很多内容，比如在魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔秉持着欧几里得、笛卡儿的论证精神创造出严密的实数理论后，康托尔又创造出集合论，将拥有代数结构的集合作为域的概念，正是因为这样的积累，才有了现在明快的伽罗瓦理论。
就连康托尔的集合论，也起因于三角级数论（傅里叶级数论）。三角级数是傅里叶为了热传导理论引入的，所以科学的一面也在此显露出来。诚然，将群的概念与方程论结合在一起是伽罗瓦的天才想法，但阿贝尔和伽罗瓦都读过当时著名数学家和物理学家拉格朗日的著作，因此不可能只就五次方程进行思考。若只是沉醉于大学学到的伽罗瓦理论之美，只被数学的艺术的一面蒙住双眼而错过其科学的一面，便无法一览数学的全貌。伽罗瓦理论出现之后，群这一概念在 19 世纪数学的诸多领域中扮演了中心角色，并且通过微分方程论和分析学被数学物理学所用。外尔的《群论和量子力学》虽广为人知，但如今在量子力学的研究中，群表示理论已经不可或缺了，这一点是公认的事实。这是一个从数学的艺术的一面向科学的一面回流的著名事例。
在数学家中，既有倾向于研究数学科学那一面的人，也有倾向于研究数学艺术那一面的人。这种倾向也有可能在人生的不同时期发生变化。但是，如果所有的数学家都偏向其中一方，那么数学也就无法继续发展了吧。
来自：遇见数学