黎曼积分和勒贝格积分的一个区分点_资讯

大可数学人生工作室

2024-02-09 07:48:39

从黎曼积分的定义来看，其中的dx是指x轴是的一个线段，其长度就是dx。

勒贝格积分则把黎曼积分中的dx换成了测度m(E)。而且这个测度是相对于集合E来说的。

对于实数集来说，测度就可以简单理解为长度，因为数轴上的无理数之间是没有间隙的，这个由无理数构成的没有间隙的集合（a,b），就存在测度并且就等于b-a，与长度的概念是一致的。

只是对于有理数来说，因为有理数之间存在间隙，而每一个单独的有理数点的大小又是0，所以由有理数构成的集合，其测度只能等于0。

从上图可以看到，对于勒贝格积分中的三个黄色集合，它们对应的函数值是相等的，都等于y1，所以这三个黄色集合的积分就是y1*(三个黄色集合的测度之和)。正是这个计算方法，就要求这三个黄色集合是可测的，也就是它们之间必须满足可列可加性。