《2025研究前沿》

科睿唯安与中国科学院联合发布《2025研究前沿》。报告遴选和展示自然科学和社会科学的11大学科领域中的110个热点前沿和18个新兴前沿。

------本文内容摘选自《2025研究前沿》

数学

1.数学领域 Top 10 热点前沿发展态势

数学领域排名前10的研究前沿聚焦机器学习与科学计算的深度融合、对人工智能理论基础的深刻探索，以及优化理论和高维统计等核心领域。机器学习与科学计算的交叉融合方面涌现出多个热点前沿。其中，“物理引导神经网络在偏微分方程求解中的方法与应用”和“基于物理定律约束的神经网络数值方法”共同致力于将物理先验知识融入深度学习模型。它们与“神经算子理论、方法及其科学计算应用”“基于深度去噪先验的迭代优化计算成像”一起，反映出微分方程作为数学领域的长期热点，正与数据科学发生颠覆性的交叉渗透，催生出全新的科学计算范式。

在人工智能基础研究方面，“现代机器学习中的双降曲线与泛化现象研究”旨在解释大参数模型为何能具备优异的泛化能力，“深度ReLU神经网络的最优逼近理论及非参数回归应用”为神经网络的表达能力和极限提供了严格的数学刻画，上述前沿凸显出数学在新兴交叉学科发展中扮演关键角色，为其他领域提供了严谨的理论基础。

此外，优化理论与统计方法等也备受关注，“无导数/零阶优化的方法与理论”“稀疏回归/最优子集选择的精确与可扩展优化方法”“高维统计中鲁棒统计推断”“非局部模型与分数阶偏微分方程的理论与计算”等前沿均入选本年度Top 10热点前沿。

图1 数学领域Top10热点前沿

（图中深色标注为重点热点前沿）

2.重点热点前沿――“现代机器学习中的双降曲线与泛化现象研究”

以深度神经网络为代表的现代机器学习模型，拥有远超训练样本数量的参数(即高度过参数化),能够完美拟合带噪声的训练数据(即插值),同时也能在新数据上展现出卓越的预测性能(即泛化能力)。这一现象与统计学习领域“偏差-方差权衡”(bias-variancetrade-off)的经典理论背道而驰。该理论认为，模型的复杂度应当适中，过度复杂的模型会因“过拟合”而丧失泛化能力，其测试误差曲线呈U型。20世纪90年代末的早期研究已在线性分类器等简单模型中观察到了“过拟合无害”的现象。但直到深度学习在21世纪10年代取得巨大成功后，这一现象的普遍性和重要性才获得广泛关注。2018至2019年间，加州大学圣迭戈分校MikhailBelkin等发表了一系列开创性工作，系统性地提出并用实验证据展示了“双降”(doubledescent)风险曲线的存在，即随着模型复杂度不断增加，测试误差在达到传统U型曲线的峰值后，并不会持续上升，反而会进入第二个下降区间，形成一个“双U”形状。该发现为调和经典理论与现代实践提供了统一框架，一旦该现象背后的数学原理被彻底揭示，将指导下一代AI模型的设计与训练，并极大提升AI系统的可解释性与可靠性。

图2 “现代机器学习中的双降曲线与泛化现象研究”研究前沿中核心论文的Top产出国家和机构

3.重点热点前沿――“物理引导神经网络在偏微分方程求解中的方法与应用”

物理引导神经网络(PINN)是一类将物理规律嵌入神经网络训练过程的深度学习方法，其核心思想是利用已知偏微分方程(PDE)描述的物理约束，引导神经网络在预测和拟合数据时自动满足这些约束。然而，随着计算能力提升和数据科学的发展，传统基于网格的数值方法在高维复杂系统求解、逆问题求解以及噪声数据整合等方面存在局限。

未来发展方向包括进一步提升高维复杂系统的训练效率、设计可自动满足物理不变量的网络结构、结合多模态实验数据进行隐式物理规律发现，并拓展至多物理场耦合与实时预测的工程应用场景。整体而言，该前沿不仅展示了深度学习与偏微分方程求解的深度融合，也推动了科学机器学习(SciML)在理论研究和工程应用中的快速发展。

图3 “物理引导神经网络在偏微分方程求解中的方法与应用”研究前沿中核心论文的Top产出国家和机构

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https://a.hoisen.com/06eqvf

来源丨《2025研究前沿》

责编 | 栾雯静 盛秋艳

审核 | 申楠

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