量子信息中用到的量子力学原理主要有三个，叠加、测量和纠缠。上次我们介绍了第一个奥义，量子叠加。这次我们来介绍第二个奥义，量子测量。

我们可以用一句话说明量子力学中的测量令人震撼的程度：它推翻了经典力学的世界观。

量子力学测量：

世界上存在真正的随机性

在量子力学出现后，人们发现，有些物理体系的一些性质在测量之前并没有确定的值，测得的值是在测量一瞬间随机产生出来的。

比如说某种球，测量它的颜色只有黑白两种结果，那么在经典力学中，测量之前它就必然处于黑色或白色这两种之一。但在量子力学中，这个球在测量之前却可能既不是黑色也不是白色，只是在测量的一瞬间，这个球随机地变成了黑色或白色。

实验上的例子：偏振光

偏振光，即电场只在某个特定方向振动的光。假如我们制备了一束水平方向（即0度方向）的偏振光，让它去通过一个45度方向的偏振片，结果会怎么样呢？

实验结果是，有一半强度的光通过，而且过去的光就变成了45度方向的偏振，不再是0度方向了。45度方向的偏振片对0度方向的光子是中等程度的阻碍，介于0度的没有阻碍和90度的最大阻碍之间。但请再仔细想想，所谓“光的强度降低一半”是对大量光子集体的描述，如果我们只关注一个光子呢?

这时最好的描述就是：它有一半的概率通过，一半的概率通不过。这里令人震惊的地方在于，同样的光子有可能过去，也可能过不去，同一个原因可能产生不同的结果。

概率性的描述意味着，假如我们把同样的实验重复很多次，例如让10000个光子依次去过偏振片，那么我们可以预测，会有5000次左右通过，5000次左右通不过。但如果实验只做一次，我们来问物理学家，当前这个光子究竟能不能通过?物理学家就会跟你说，我们没有任何办法预测。我们唯一可说的是，它有一半的概率过去，一半的概率过不去。

所以我们可以把量子力学中的测量总结为:世界上存在真正的随机性，或者说本质的随机性、内秉的随机性。事实上，量子测量正是我们目前唯一已知的产生真随机数的方法。量子随机数发生器已经有了很多应用，如果彩票用上量子随机数发生器，就不可能作弊了。

量子测量中的Q&A

伪随机vs.真随机

有人可能会问，经典世界不也有很多随机性吗?例如我们掷一个硬币，正面朝上还是反面朝上不是随机的吗?

仔细想想你就会发现，经典力学中的随机都是伪随机，不是真随机。例如掷硬币的结果，取决于出手的力度、方位和气流的影响等，而这些因素都是可以控制的。比如说用机器来掷，就可以把出手的力度和方位控制得很准。在真空中掷，就可以消除气流的影响。当把这些都做到位时，可以得到想要的结果。但量子力学中的测量就没有任何办法消除随机性。

隐变量是否能消除

有人可能会说，量子力学之所以看起来随机，是因为还有一些变量我们没有观察到，而那些变量控制了测量的结果。这种想法叫作隐变量(hidden variable)，是一种很容易想到的消除随机性、拯救决定论(determinism)的办法。对经典力学中掷硬币的例子来说，出手的力度、方位和气流等就相当于它的隐变量。

然而在量子力学中，隐变量理论至少到目前为止还没有取得成功。不是说不能构造这样的隐变量理论——其实当然是可以的，这样的研究已经进行了近百年——而是说这样的隐变量理论或者跟实验矛盾（所以它是错误的），或者不能给出控制隐变量的方法（所以它是没用的）。这是一个非常深奥的话题，我们后面再来详细解释。目前需要强调的只是，量子力学中的随机性是无法以简单形式消除的，我们需要尊重这个自然规律。

以狄拉克符号和基组描述量子测量

如果你还想比较精确地描述量子力学中的测量，那么就需要用到我们在上一期中讲的狄拉克符号（Diracnotation）和基组（basis set）这两个概念。回顾一下，狄拉克符号是一个尖括号|〉，我们可以在其中填入任意的数字、字母甚至一句话，来表示某个量子状态。我们往往用|0〉和|1〉来表示两个基本状态，比如说0度和90度的两个偏振态。这两个基本状态构成一个基组，意思是通过它们的线性叠加可以构造出体系能够取到的其他任意状态，即a|0〉+b|1〉，这里的a和b是两个数。

用这种符号，就可以方便地描述量子力学中测量的效果：在|0〉和|1〉的基组中对a|0〉+b|1〉做测量，那么结果必然会得到|0〉或|1〉中的某一个，具体而言是以|a|2的概率得到|0〉，以|b|2的概率得到|1〉。上一期中我们说过，对a和b这两个数唯一的限制就是它们的绝对值平方和等于1，现在我们可以明白为什么：因为测量的结果只有这两种可能，它们的概率加起来必然等于100%。

可以量子测量比喻为“削足适履”，因为它的效果就是强迫待测状态落到某一个基本状态上去。落到哪一个基本状态是随机的，而只能落到这些基本状态其中之一是确定的。当然，如果初始状态就是某一个基本状态，那么测量结果就是完全确定的，即100%仍然在这个状态。不过这是特殊情况，大多数时候是发生变化。

马吕斯定律与偏振光

对于偏振光例子的历史描述是1808年提出的马吕斯定律（Malus’s law）：强度为I0的线偏振光，通过跟它偏转方向成θ角的偏振片后，透射光的强度为：

I=I0cos2θ

仔细看看，我们前面举的0度、90度和45度的例子都符合这个定律，因为cos20°=1，cos290°=0,cos245°=1/2。知道量子力学之后，我们就可以对它有更深入的理解：用|0〉和|1〉表示0度和90度的态，偏振方向θ的态可以表示为：

cosθ|0〉+ sinθ|1〉

所以当它去通过水平方向的偏振片时，就会以cos2θ的概率得到|0〉（即通过水平方向的偏振片），以sin2θ的概率得到|1〉（即通不过水平方向的偏振片）。

电子云：原子中的电子处于位置的叠加态

位置是可以叠加的，原子中电子的状态一般而言就处于位置的叠加态，因此我们无法事先预测它出现在哪里，只能预测它出现在各个位置的概率。根据这个概率分布，可以画出所谓电子云的图像。

我们在高中时可能就听说过电子云这个词，最初接触的时候可能会觉得就是电子运动得太快了看不清它在哪儿，但现在大家可以明白了，不是因为跑得太快看不清，而是因为电子的位置在本质上就是不确定的，在测量的一瞬间才会落到某个确定的位置。

描述量子系统在没有测量时的（演化的）理论

量子力学中测量的神奇之处，就是它居然需要一个单独的测量理论。在经典力学中，测量虽然也是个重要的操作，但它并不需要什么特别的理论，因为测量过程跟其他过程遵循相同的物理规律。但在量子力学中测量必须有一个单独的理论来描述它，测量和不测量时遵循的是不同的物理规律。

那么描述量子系统在没有测量时的（演化的）理论是什么？答案是薛定谔方程，它是一个微分方程，描述量子体系的状态随时间的演化。在这个方程中，量子体系的状态用一种函数来表示，叫作波函数（wave function）。

薛定谔方程非常重要，实际上我的专业“理论与计算化学”（theoretical and computational chemistry）中一大半的内容就是寻找解薛定谔方程的算法，包括精确算法和近似算法，因为原则上，解出薛定谔方程就能知道原子分子体系所有的可观测性质。然而对于我们目前讨论的问题，只需要记住一点，就是薛定谔方程是个确定性的方程，即给定某个初始时刻的状态，就会确定此后任意时刻的状态。在这个层面上，薛定谔方程跟牛顿力学方程没有区别，两者都是决定论的。

但在做测量的时候，薛定谔方程的确定性演化就会被打断。这时我们就要首先挑选一个基组，然后测量的效果就是强迫待测体系的状态落到这个基组的某一个基本状态上。这是一个真正意义的突变，是瞬间变化，不需要时间，所以经常被称为波函数塌缩、坍缩（collapse）或诸如此类的词。

总而言之，量子力学对世界的描述是一种奇妙的混合，它是确定性与概率性的混合，也是连续变化与突变的混合。在没有测量时它是确定性的、连续变化的，在测量时它是概率性的、突变的。这样一种图景确实不是任何人事先能想到的，直到现在也经常令人困惑。因此很多物理学家说过类似这样的话：“任何人如果没有被量子力学震惊，就没有理解它。”