电磁张量真的是天生相对论协变的吗？洛伦兹变换也有张量形式吗？电磁场张量的洛伦兹变换和磁矢势有什么关系？8月25日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何从电磁张量推导出麦克斯韦方程。讲解了洛伦兹变换的张量表示，并基于此计算了磁矢势的洛伦兹变换。在这之后对电磁张量及电磁场分量的洛伦兹变换也做了计算，证实了电磁张量确实是一个天生洛伦兹协变的量。

张朝阳讲解磁矢势洛伦兹变换

电磁张量推导麦克斯韦方程

在之前的课程中已经定义了电磁张量有如下形式：

对它求散度之后得到：

上边这个方程等价于如下的两个麦克斯韦方程：

再加上比安基恒等式（Bianchi identity）:

就可以推出剩下的两个麦克斯韦方程：

值得指出的一点是，这个过程中洛伦茨规范并不是必须的条件，换句话说这是一个规范不变的理论。

张朝阳讲解电磁张量推出麦克斯韦方程

洛伦兹变换的张量表达

在学习了微分几何、张量表述等有力的工具后，重新回到狭义相对论的框架下讨论曾经用更“原始”的方法研究过的问题是有趣的。所谓狭义相对论，在微分几何的语言里，就是背景是闵氏时空的物理学。闵氏时空中最重要的物理量仍然是度规：

选择正交归一的坐标基矢：

在四维时空下有各种不变的物理量，这些物理量称作张量，度规是其中的一种二阶张量，之前课程中学过的黎曼曲率张量是四阶张量。狭义相对论中涉及到的很多物理量都是一阶张量，也就是四维矢量（4-vector），例如位置矢量：

时空间隔也是四矢量：

以及四速度：

其中分母是原时。

对于本节课关心的电磁场来说，最重要的一阶张量就是磁矢势4-potential：

也可以写成坐标基矢展开的形式：

磁场和电场单独并不是四维矢量，只有合起来才是，它们和磁矢势的关系有如下关系：

以及四电流密度（4-currents）：

下边就要研究参考系变换下，物理量的变换规律，这也是狭义相对论的核心。考虑两个参考系，s系是静止参考系，s'系是相对于s系沿x方向以速度v运动的参考系：

其中：

相应的洛伦兹因子为：

这样洛伦兹变换的具体形式就是：

这样两参考系间的坐标变换为：

张量形式的洛伦兹变换为：

其中洛伦兹变换矩阵为：

张朝阳讲解洛伦兹变换的张量形式

电磁场物理量的洛伦兹变换

仍然在s系和s'系讨论，那么有了洛伦兹变换的张量形式后，就可以研究电磁场的各种物理量例如磁矢势的坐标变换：

之所以要研究它们，是因为电磁场天然是一个相对论协变的理论，这就是为什么总说它是应该诞生于20世纪的物理理论。有了张量这种工具，再来看看电磁场是否真的是相对论协变的就很有意义。

直接计算就可以得到磁矢势各分量的坐标变换关系，例如0分量：

代入具体的形式就有：

完全一致地可以算出：

这样就可以把磁矢势的洛伦兹变换规律写成矩阵的形式：

很容易发现，这就相当于乘上一个洛伦兹变换矩阵，并且对于任意一个一阶张量也就是4矢量来说，都是如此，这也体现了张量表示的简洁性与一般性。

但是对于二阶张量，情况就略有不同，并不是那么简单，就先按照洛伦兹变换规律来形式地计算。以电磁张量为例，它的形式为：

对应的洛伦兹变换公式为：

仍然先从分量来研究，比如电场分量的变换关系：

也就是说对于平行运动方向的分量来说有：

磁场分量的变换：

也就是同样的：

对于垂直运动方向的分量也可以做完全一样的计算，得到电场分量的变换关系：

即：

考虑到三维矢量运算关系，就可以将电场矢量的整体变换：

同样的方法计算磁场分量的变换得到：

即：

同样可以写成统一的形式即：

这样就完成了这节课的目标，得到了各个电磁场物理量的洛伦兹变换关系。

张朝阳讲解电磁张量的洛伦兹变换

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